Сущность и основные понятия

Комбинаторика — это раздел математики, занимающийся решением задач, в которых требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составить различные комбинации и подсчитать их число.

Правило суммы

Если некоторый объект A можно выбрать из совокупности объектов m способами, а другой объект B n способами, то объект A или B можно выбрать m + n способами.

Правило произведения

Если объект A можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пару объектов A и B в указанном порядке можно выбрать mn способами.

Перестановки

Перестановками называются комбинации из n элементов по n элементов, отличающиеся только порядком их расположения.

Размещения

Размещениями называются комбинации из n элементов по m элементов, отличающиеся либо составом, либо порядком расположения элементов.

Сочетания

Сочетаниями называются комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы 1 элементом (т. е. составом).

ТВ — мат. наука, изучающая закономерности случайных событий и случайных величин при массовом их появлении.

Опытом (испытанием) называется действие, которое можно повторять большое число раз в одинаковых условиях и результат которого нельзя предугадать заранее.

Эксперимент — это один или несколько опытов.

Событием (исходом) называется возможный результат опыта (эксперимента).

Элементарные и составные события

Элементарным называется каждое событие, которое может наступить в результате опыта.

Составное событие — это событие, состоящее из нескольких элементарных.

Случайные, невозможные и достоверные события

Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти.

Невозможным событием называется событие, которое в данном опыте произойти не может.

Достоверным событием называется событие, которое в данном опыте обязательно произойдет.

Совместность событий

Два события называются несовместными в данном опыте, если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае называются совместными.

События A₁, A₂, …, Aₙ называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны.

Равновозможность и полная группа

События A₁, A₂, …, Aₙ называются равновозможными, если в условиях опыта для их появления имеются одинаковые возможности.

События A₁, A₂, …, Aₙ образуют полную группу событий, если в результате опыта кроме этих событий ничего не может произойти (т. е. перечисляются всевозможные исходы опыта).

Противоположными называются два единственно возможных события, образующие полную группу (противоположное событие — дополнение данного события до полной группы).

Благоприятствующие исходы

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступило, называются благоприятствующими данному событию.

Количественной мерой возможности появления события является вероятность. Это число, характеризующее долю успеха.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу всех элементарных исходов, образующих полную группу.

Статистическое определение вероятности

Статистической вероятностью события A называется относительная частота появления события A в общем числе произведенных опытов.

При статистическом определении вероятности, за вероятность события A принимают то число, относительно которого стабилизируется относительная частота W(A) при увеличении числа опытов. Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.

Геометрическое определение вероятности

Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области g (mes g), благоприятствующей появлению события A, к мере всей области G (mes G). (mes от фр. mesure — «мера».)