Краткая история

Игроки за карточным столом на картине Караваджо «Шулеры» — «Шулеры» · Караваджо

XV–XVI века

От игры к подсчёту шансов

Игроки хотели понять, какой исход вероятнее и стоит ли делать ставку. Лука Пачоли, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано начали разбирать эти вопросы с помощью подсчёта возможных исходов. Из таких задач постепенно выросла теория вероятностей.

Живописный портрет Блеза Паскаля — Блез Паскаль · Пьер Ферма

Живописный портрет Пьера Ферма — Блез Паскаль · Пьер Ферма

1654 год

Начало новой теории

Блез Паскаль и Пьер Ферма обсуждают в письмах, как справедливо разделить ставку, если игру прервали до конца. Они учитывают возможные продолжения игры и шансы участников на победу. Эта переписка стала одним из ключевых шагов к созданию теории вероятностей.

Христиан Гюйгенс на гравюре Жерара Эделинка — Христиан Гюйгенс · гравюра Эделинка

1657 год

Первое печатное руководство

Христиан Гюйгенс публикует работу «О расчётах в азартной игре». Он объясняет, как решать игровые задачи математически, и рассматривает математическое ожидание — средний выигрыш с учётом шансов разных исходов.

Портрет Якоба Бернулли — Якоб Бернулли · Ars conjectandi, 1713

Титульная страница «Искусства предположений», 1713 — Якоб Бернулли · Ars conjectandi, 1713

1713 год

Закон больших чисел

После смерти Якоба Бернулли выходит его книга «Искусство предположений» с доказательством закона больших чисел. Он связывает вероятность с частотой события в длинной серии независимых испытаний: например, при множестве бросков честной монеты доля орлов с высокой вероятностью будет близка к половине.

Пьер-Симон Лаплас рядом с глобусом на гравюре Луи Делестра — Пьер-Симон Лаплас · гравюра Делестра

1812 год

Вероятность помогает работать с наблюдениями

Выходит «Аналитическая теория вероятностей» Пьера-Симона Лапласа. Он обобщает результаты предшественников и развивает методы вероятностного расчёта. Они помогают учёным обрабатывать наблюдения и оценивать ошибки измерений, в том числе в астрономии.

Пафнутий Чебышёв — Чебышёв · Марков · Ляпунов

Андрей Андреевич Марков — Чебышёв · Марков · Ляпунов

Вторая половина XIX — начало XX века

Российская школа теории вероятностей

Пафнутий Чебышёв обобщает закон больших чисел. Его ученики Андрей Марков и Александр Ляпунов развивают эти идеи. Марков изучает последовательности, где следующий шаг связан с предыдущим. Эти работы открывают путь к теории случайных процессов.

Схема пространства исходов Омега и двух событий A и B — Пространство исходов и события

1933 год

Общие правила для вероятности

Андрей Колмогоров публикует работу «Основные понятия теории вероятностей». Он задаёт систему аксиом — исходных математических правил теории. Теперь разные случайные явления можно описывать с помощью общего математического языка.

Диаграмма рассеяния с линией регрессии: данные и математическая модель — Данные и модель · линейная регрессия

XXI век — наши дни

Вероятность в цифровом мире

Теория вероятностей помогает анализировать данные, строить прогнозы и обучать компьютеры находить закономерности. Вместе с прогнозом важно оценивать, насколько ему можно доверять. Одна из задач на будущее — делать такие оценки точнее и понятнее людям.

Прокручивайте страницу или выбирайте дату на линейке.

Сразу к делу

Разделы

I. Сущность и основные понятия

Элементы комбинаторики
Основные понятия
Определения вероятностей

Начнём с подсчёта возможных исходов, видов событий и трёх подходов к вероятности: классического, статистического и геометрического.

Изучим?

II. Сложение и умножение вероятностей

Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Формула полной вероятности. Формула Байеса

Разберём, как объединять события, учитывать их зависимость и пересчитывать вероятности гипотез, когда появляется новая информация.

Основные формулы

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)

P (A B) = P (A) \cdot P (B | A)

P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (H_{i}) P (A | H_{i})

P (H_{i} | A) = \frac{P (H_{i}) P (A | H_{i})}{P (A)}

Hᵢ — полная группа несовместных гипотез с положительными вероятностями. Условные вероятности определены при ненулевом знаменателе.

Изучим?

III. Дискретные случайные величины

Повторение испытаний: формулы Бернулли, Пуассона, Лапласа
Виды случайных величин и способы их задания
Числовые характеристики дискретной случайной величины

От повторных испытаний перейдём к распределению отдельных значений. Познакомимся с математическим ожиданием, дисперсией и средним квадратическим отклонением.

Основные формулы

P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

P_{n} (k) \approx \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}

P_{n} (k) \approx \frac{e^{- \frac{{(k - n p)}^{2}}{2 n p q}}}{\sqrt{2 π n p q}}

M (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i}

D (X) = \sum_{i} x_{i}^{2} p_{i} - M^{2} (X)

Испытания независимы, p постоянно; q = 1 − p, λ = np. Пуассон: большое n, малое p. Для Лапласа обычно npq ≥ 10. Знак ≈ обозначает приближение.

Изучим?

IV. Непрерывные случайные величины

Функция распределения
Плотность распределения
Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Посмотрим, как функция и плотность распределения описывают непрерывную величину и помогают находить вероятности, среднее значение и разброс.

Основные формулы

F (x) = P (X < x)

f (x) = F^{'} (x)

P (a < X < b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

M (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

D (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f (x) d x - M^{2} (X)

Плотность неотрицательна, её интеграл по всей оси равен 1. Числовые характеристики вычисляются, если соответствующие интегралы сходятся.

Изучим?

V. Законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин

Законы распределения дискретной случайной величины: биномиальный закон распределения, закон Пуассона
Равномерный закон распределения
Показательный закон распределения
Нормальный закон распределения

Сравним основные законы распределения, их параметры, графики и числовые характеристики. Разберём, как выбирать подходящую модель.

Основные формулы

Биномиальный

p_{k} = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}

Пуассона

p_{k} = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}

Равномерный

f (x) = \frac{1}{b - a}, a \leq x \leq b

Показательный

f (x) = λ e^{- λ x}, x \geq 0

Нормальный

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - a)}^{2}}{2 σ^{2}}}

pₖ = P(X = k): k = 0, …, n для биномиального закона и k = 0, 1, … для Пуассона. 0 ≤ p ≤ 1; λ > 0, a < b, σ > 0. Равномерная и показательная плотности равны 0 вне указанных областей.

Изучим?

Далее проверка знаний

Готов проверить свои знания?

*В итоговый тест входят 10 случайных задач из всех разделов.

А также в нём не будет подсказок — придётся подумать хорошенько.

Краткая история

От игры к подсчёту шансов

Начало новой теории

Первое печатное руководство

Закон больших чисел

Вероятность помогает работать с наблюдениями

Российская школа теории вероятностей

Общие правила для вероятности

Вероятность в цифровом мире

Разделы

I. Сущность и основные понятия

II. Сложение и умножение вероятностей

III. Дискретные случайные величины

IV. Непрерывные случайные величины

V. Законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин

Готов проверить свои знания?

*Прогресс: